Qué es una expresión algebraica

Una expresión algebraica contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o dos letras. Un ejemplo de expresión con una única letra es:

3x²+4x−2−x²+7x

El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita

Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es simplificarla, utilizando las propiedades de las expresiones, que son equivalentes a las propiedades de los números

Reordenamos poniendo juntos las letras con el mismo índice.
Operamos para simplificar:

3x²+4x−2−x²+7x => 3x²−x²+4x+7x−2 => 2x²+11x-2

La primera expresión y la última son equivalentes.

Qué es una ecuación

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas. Por ejemplo,

3x+5=8x

Recordar que se aplican las normas numéricas de paréntesis, multiplicaciones – divisiones y sumas – restas.

https://www.ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-1/ecuaciones-primer-grado-basicas-resueltas-explicadas.html

Principios simples de resolución de ecuaciones

Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad.

1. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

2. Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades:

• Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.

• Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.

Aplicar la misma operación a las dos partes de la expresión genera expresiones equivalentes

3(2x + 5) – 2(4 + 4x) = 7

lo primero que hacemos será las operaciones de los paréntesis

6x + 15 − 8 − 8x = 7

Reordenamos

6x − 8x + 15 − 8 = 7

sumamos los términos en x y los términos independientes

− 2x + 7 = 7

Restamos 7 a ambos lados de la ecuación

− 2x + 7 – 7 = 7 − 7

− 2x = 0 despejamos la incógnita ⇒ x = 0

Comprobamos

3*(2*0+5)-2*(4 + 4x) = 7 => 15 – 8 = 7

Reglas nemotécnicas

Primero se pasan de lados multiplicaciones y divisiones, afectando a todo. Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.

5x = 3 + 7x => x = (3 + 7x) / 5

Cuando no hay multiplicaciones o divisiones se pasan de lado las sumas y las restas. Cuando está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando.

5x = 3 + 7x => 5x – 7x = 3 => -2x = 3 è x = 3/-2 = -3/2

Ejercicios Resueltos:

1.- ¿Son equivalentes las siguientes ecuaciones?

a) x + 5 = 8 y 7x + 1 = 22

b) x + 3 = 4 y 8x + 8 = 8

2.- Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número?

x + x/5 = 18

3.- Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?

y – y/3 = 24

4.- Regala 8 cromos y se queda con la mitad. ¿Cuántos cromos tenía?

x - 8 = x / 2

Resolver en casa

1. Transformar en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones:

a) La mitad de un número más 3.

b) Tres números pares consecutivos.

c) La cuarta parte más la quinta parte de un número.

d) El triple del cuadrado de un número.

e) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos.

f) La raíz cuadrada de un número.

g) El doble de un número más 3 es igual a 15.

h) El cubo de un número es igual a 27.

i) El doble del cubo de un número.

j) El cubo del doble de un número.

2. Juana tiene 5 años más que Amparo. Si entre los dos suman 73 años, ¿qué edad tiene cada una?

3. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48 años, ¿qué edad tiene cada uno?

4. Determinar tres números consecutivos que suman 444.

5. Tengo 2/3 de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me faltan sólo 318€ para comprarlo?

6. Después de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio 3/5 del camino. ¿Cuántos metros tiene el trayecto?

7. Un pastor vende 5 / 7 de las ovejas que tiene. Después compra 60 y así tendrá el doble de las que tenía antes de la venta. ¿Cuántas ovejas tenía en un principio?

8. Determinar un número que sumado con su mitad y su tercera parte de 55.

9. Tres socios tienen que repartirse 3.000€ de beneficios. ¿Cuánto le tocará a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y el tercero dos veces más que el primero?

10. Mi padre tiene 6 años más que mi madre. ¿Qué edad tiene cada uno, si dentro de 9 años la suma de sus edades será 84 años?

11. Una bicicleta sale de una ciudad con una velocidad de 25 km/h. 3 horas más tarde sale un coche a la velocidad de 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar a la bicicleta?

12. ¿Qué número tengo que sumar a los dos términos de la fracción 15 / 135 para que se convierta en 2 / 7 ?

13. La diferencia entre dos números es 656. Dividiendo el mayor entre el menor, resulta 4 de cociente y 71 de resto. Determinar los números.

14. La suma de tres números impares consecutivos es igual al doble del menor más 1.

Determinar los números.

15. Determinar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 6 y que la diferencia entre este número y el que resulta de invertir el orden de las cifras es 18.

16. Dos obreros hacen un trabajo en 3 horas. Uno de ellos solo lo haría en 4 horas. Determinar el tiempo que tardaría el otro solo.

17. De los tres conductos que afluyen en una balsa, uno la llena en 36 horas, otro en 30 horas, y el tercero en 20 horas. Calcular el tiempo que tardarán en llenarla juntos.

18. Un día compre 5 libretas y 8 bolígrafos y pagué 24€. Al día siguiente compré 8 libretas y 5 bolígrafos y pagué 20,85€. ¿Cuánto pagaré otro día por 2 libretas y 3 bolígrafos?

19. Un padre tiene 42 años y sus hijos 7 y 5. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la edad del padre sea igual que la suma de las edades de los hijos?

20. Encuentra dos números de forma que su diferencia sea 120 y el menor sea la quinta parte del mayor.

21. Si de los tres quintos de los libros que tiene Juan le quitamos la mitad de los mismos, nos quedan todavía 50. ¿Cuántos libros tiene Juan?

22. Ernesto tiene 3 años más que Mercedes y esta tiene 5 más que Luis. Calcula la edad de cada uno si entre los tres suman 58 años.

23. Necesitamos repartir 27 naranjas en dos cajas de forma que en la primera haya 3 más que en la segunda. ¿Cuántas naranjas habrá en cada caja?

24. Después de gastar las 4/7 partes de un depósito quedan 78 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

25. Al comprar una camisa he pagado 27,59€. Si me han rebajado un 15%. ¿Cuánto costaba la camisa antes de las rebajas?

26. Juan tiene 400€ y Rosa tiene 350€. Después de comprar las dos el mismo libro a Rosa le queda las 5/6 partes de lo que le queda a Juan. ¿Cuál es el precio del libro?

Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss es considerado como el chico maravilla de las matemáticas. Desarrolla la teoría de números, aportando a esta parte de las matemáticas una organización sistematizada. Su popularidad se extendió cuando predijo con exactitud la órbita del asteroide Ceres. En 1835. Gauss formularía una ley llamada teorema o ley de Gauss (Campo eléctrico), siendo uno de sus aportes más grandes en el área del electromagnetismo, derivándose de esta propuesta dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell.